Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$, lấy điểm $P\in SA$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của hình chóp đã cho. Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?

b) Gọi $J\in MN$. Chứng minh rằng $OJ\parallel (SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20.

a) Xác định giao tuyến của $(MNP)$ với các mặt của hình chóp.

Vì $M,N$ là trung điểm của $SB,SC$ nên $MN\parallel BC$. Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$, suy ra $MN\parallel AD$.

- Trên mặt $(SBC)$: giao tuyến là đoạn $MN$.
- Trên mặt $(SAB)$: vì $M\in SB$, $P\in SA$ nên giao tuyến là đoạn $MP$.
- Trên mặt $(SCD)$: trong mặt phẳng $(SAD)$, qua $P$ vẽ đường thẳng song song với $AD$, cắt $SD$ tại $Q$. Vì $MN\parallel AD$ và $PQ\parallel AD$ nên $MN\parallel PQ$, do đó $PQ$ nằm trong mặt phẳng $(MNP)$. Khi đó $N\in (MNP)\cap (SCD)$ và $Q\in (MNP)\cap (SCD)$, vậy giao tuyến của $(MNP)$ với $(SCD)$ là đoạn $NQ$.
- Trên mặt $(SAD)$: giao tuyến là đoạn $PQ$ (với $PQ\parallel AD$).

Vậy mặt phẳng $(MNP)$ cắt các cạnh bên $SB,SC,SD,SA$ tại $M,N,Q,P$ và không cắt đáy (mặt cắt ngăn cách đỉnh $S$ với đáy). Các giao tuyến tạo thành tứ giác $MNPQ$, trong đó $MN\parallel PQ$ (cùng song song với $BC$), tức là một hình thang.

b) Chứng minh $OJ\parallel (SAD)$ với $J\in MN$.

Vì $J\in MN$ nên tồn tại $t\in [0;1]$ sao cho
$$\overrightarrow{SJ}=(1-t)\overrightarrow{SM}+t\overrightarrow{SN}.$$

Vì $M,N$ là trung điểm của $SB,SC$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$, do đó
$$\overrightarrow{SJ}=\frac{(1-t)\overrightarrow{SB}+t\overrightarrow{SC}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{t}{2}\overrightarrow{BC}$$
(vì $\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BC}$).

Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, suy ra
$$\overrightarrow{SO}=\frac{\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}}{2}=\frac{\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}}{2}.$$

Khi đó
$$\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{SJ}-\overrightarrow{SO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{t}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}}{2}=\frac{1}{2}\left(t\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{SD}\right)=\frac{1}{2}\left(t\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{SD}\right)$$
(vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).

Vậy $\overrightarrow{OJ}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{SD}$ — hai vectơ chỉ phương không cùng phương của mặt phẳng $(SAD)$. Do đó $\overrightarrow{OJ}\parallel (SAD)$.

Mặt khác, $O$ là tâm hình bình hành nằm trong đáy, $O\notin (SAD)$ (vì $O$ không thuộc đường thẳng $AD$), nên đường thẳng $OJ$ không nằm trong mặt phẳng $(SAD)$.

Kết luận: $OJ\parallel (SAD)$.