Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật biết $AB=2BC=2a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$ vì $AB=2a$, $BC=a$, $SA=a\sqrt{3}$.

Thể tích khối chóp $S.BCD$ (đường cao $SA$):
$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{2a\cdot a}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$$

Diện tích tam giác $SBD$: $\overrightarrow{BS}=(-2a;0;a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{BD}=(-2a;a;0)$,
$$\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BD}=(-a^2\sqrt{3};-2a^2\sqrt{3};-2a^2),|\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BD}|=a^2\sqrt{3+12+4}=a^2\sqrt{19},$$
nên $S_{SBD}=\frac{a^2\sqrt{19}}{2}$.

Khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$:
$$d(C,(SBD))=\frac{3V_{S.BCD}}{S_{SBD}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{\frac{a^2\sqrt{19}}{2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{2a\sqrt{57}}{19}.$$

Kiểm tra: $BD=a\sqrt{5}$, $SB=a\sqrt{7}$, $SD=2a$; theo Heron diện tích tam giác $SBD$ cũng cho $\frac{a^2\sqrt{19}}{2}$, kết quả khớp.