Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ . Biết $MN=a\sqrt{3}$ , góc giữa $AB$ và $CD$ là $x^{\circ }$ . Tìm $x$ ?

(AI giải đề cho tôi)
Lấy $P$ là trung điểm $AC$. Khi đó $NP$ là đường trung bình của $△ACD$ nên $NP\parallel CD$, $NP=\frac{CD}{2}=a$; $MP$ là đường trung bình của $△ABC$ nên $MP\parallel AB$, $MP=\frac{AB}{2}=a$. Góc giữa $MP$ và $NP$ bằng góc giữa $AB$ và $CD$ là $x^{\circ }$ (hoặc bù với nó). Áp dụng định lí cosin trong $△MNP$: $M{N}^2=M{P}^2+N{P}^2-2\cdot MP\cdot NP\cdot \cos \angle MPN$, tức $3a^2=a^2+a^2-2a^2\cos \angle MPN$, suy ra $\cos \angle MPN=-\frac{1}{2}$, $\angle MPN=120^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $x=180^{\circ }-120^{\circ }=60$.