Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AD//BC$, $AD=xBC$. Gọi $M,N$ lần lượt là 2 điểm nằm trên $AD,SD$ thỏa mãn $\frac{AM}{AD}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$. Để $(CMN)//(SAB)$ thì khi đó giá trị $x$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ ba vectơ không đồng phẳng: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $AD//BC$ và $AD=xBC$ nên $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{x}\vec{d}$, suy ra $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\frac{1}{x}\vec{d}$.

Vì $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{d}}{3}$. Vì $\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}=\vec{s}+\frac{1}{3}(\vec{d}-\vec{s})=\frac{2\vec{s}+\vec{d}}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{s}}{3}$, do đó $MN//AS$ nên $MN//(SAB)$ luôn đúng với mọi $x$.

Xét $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{d}}{3}-\vec{b}-\frac{\vec{d}}{x}=-\vec{b}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}\right)\vec{d}$.

Để $CM//(SAB)$, vì $\vec{b}$ nằm trong $(SAB)$ còn $\vec{d}$ không nằm trong $(SAB)$, cần hệ số của $\vec{d}$ bằng 0: $\frac{1}{3}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x=3$.

Khi đó $MN//(SAB)$, $CM//(SAB)$ với $MN$ và $CM$ cắt nhau tại $M$ nên $(CMN)//(SAB)$. Vậy $x=3$.