Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $BC=1;BA=2,B{B}^{\prime }=4$, $\widehat{ABC}=90^0;\widehat{B^{\prime }BC}=120^0$, $\widehat{B^{\prime }BA}=60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B$ gốc, $\overrightarrow{BA}$ theo trục $x$, $\overrightarrow{BC}$ theo trục $y$. Khi đó $A(2;0;0)$, $C(0;1;0)$. Vecto đơn vị của $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$: cos với $\overrightarrow{BA}$ bằng $\cos 60^0=1/2$ nên thành phần $x=1/2$; cos với $\overrightarrow{BC}$ bằng $\cos 120^0=-1/2$ nên $y=-1/2$; suy ra $z=\sqrt{1-1/4-1/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(2;-2;2\sqrt{2})$.
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(-2;0;0)+(0;1;0)+(2;-2;2\sqrt{2})=(0;-1;2\sqrt{2})$, còn $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(2;-1;2\sqrt{2})$. Khác nhau → Sai.
b) $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{B{B}^{\prime }}||\overrightarrow{BC}|\cos 120^0=4\cdot 1\cdot (-1/2)=-2$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(4;-1;2\sqrt{2})$, $|B{D}^{\prime }{|}^2=16+1+8=25\Rightarrow B{D}^{\prime }=5$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;0)$, $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(4;-1;2\sqrt{2})$: $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B{D}^{\prime }})=\frac{-8}{2\cdot 5}=-0,8\Rightarrow$ góc $\approx 143^0$, không phải $153^0$ → Sai. Khớp đáp án nguồn a)S - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $(0;-1;2\sqrt{2})$ khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(2;-1;2\sqrt{2})$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$4\cdot 1\cdot \cos 120^0=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(4;-1;2\sqrt{2})$ nên $|B{D}^{\prime }|=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =-0,8$ cho góc $\approx 143^0$, không phải $153^0$.