Từ một miếng bạt hình vuông cạnh $24m$ như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt đi phần tô đậm của tấm bạt rồi gấp và may lại (các đường may không đáng kể) để phủ lên tháp trang trí (có dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại khi trời mưa. Biết khối chóp hình thành sau khi gấp và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Mô hình: hình vuông cạnh 24, phần không tô đậm gồm hình vuông đáy (đặt chéo, tâm trùng tâm hình vuông lớn) và 4 tam giác đều cân làm mặt bên, đỉnh mỗi tam giác là đỉnh của hình vuông lớn. Gọi $t$ là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của hình vuông đáy ($0<t<12$), thì cạnh đáy $a=t\sqrt{2}$.

Mặt bên là tam giác cân với đáy $a$ và đỉnh tại một góc của hình vuông lớn, ví dụ đỉnh $(12;12)$, đáy nối $(t;0)$ và $(0;t)$:
$$s^2=(12-t{)}^2+12^2,h^2=s^2-\frac{a^2}{4}=(12-t{)}^2+144-\frac{t^2}{2}=288-24t+\frac{t^2}{2}.$$
Chiều cao khối chóp:
$$H^2=h^2-\frac{a^2}{4}=288-24t+\frac{t^2}{2}-\frac{t^2}{2}=288-24t.$$
Thể tích:
$$V=\frac{1}{3}{a}^{2}H=\frac{2}{3}{t}^2\sqrt{288-24t}.$$
Xét $f(t)=t^4(288-24t)$, $f^{\prime }(t)=24t^3(48-5t)=0\Rightarrow t=9,6$ (thỏa mãn $(0;12)$), và $f$ đạt max tại đó.

Khi đó $H^2=288-230,4=57,6$, $H=\sqrt{57,6}\approx 7,5895$; $a^2=2t^2=184,32$.
$$V_{\max }=\frac{1}{3}\cdot 184,32\cdot 7,5895\approx 466,19\approx 466(m^3).$$
Khớp với đáp án nguồn 466.