Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng $ADC{B}^{\prime }$ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng $BD//(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, $MN//(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.
c) Chứng minh rằng $(MNP)//(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, $BD//(MNP)$.
d) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left(MNP\right)$ với các mặt của hình hộp.
e) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right),\left(MNP\right),\left(C^{\prime }BD\right)$ lần lượt tại $I,J,H$. Tính tỉ số $\frac{IJ}{JH}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết (Câu 141): Chọn hệ trục để tính toán kiểm tra: $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $D=(0;1;0)$, $A^{\prime }=(0;0;1)$; khi đó $C=(1;1;0)$, $B^{\prime }=(1;0;1)$, $C^{\prime }=(1;1;1)$, $D^{\prime }=(0;1;1)$, $M=(0;\frac{1}{2};0)$, $N=(1;\frac{1}{2};1)$, $P=(0;1;\frac{1}{2})$.

a) Trong hình hộp, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và $BC\parallel AD$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AD$; hơn nữa $B^{\prime }{C}^{\prime }=AD$ (cùng bằng cạnh của hình hộp). Tứ giác $ADC{B}^{\prime }$ có $AD\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AD=B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $ADC{B}^{\prime }$ là hình bình hành.

b) $BD$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ lần lượt là đường chéo của hai hình bình hành $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, $BD\not\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $BD\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.
Véc-tơ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ (kiểm tra: $N-M=(1;0;1)=B^{\prime }-A$), do đó $MN\parallel A{B}^{\prime }$. Vì $A{B}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $MN\not\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $MN\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

c) $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, nên $MP\parallel A{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN\parallel A{B}^{\prime }$, $MP\parallel A{D}^{\prime }$, còn $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $A{B}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$, nên $(MNP)\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Từ đó, vì $BD\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(MNP)\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $BD\parallel (MNP)$.

d) Gọi $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$, $Q$ là trung điểm $D^{\prime }{C}^{\prime }$. Kiểm tra bằng tọa độ, mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $-x-y+z=-\frac{1}{2}$, và ta được giao tuyến với từng mặt:
• Mặt $ABCD$ ($z=0$): $x+y=\frac{1}{2}$, cắt hình tại đoạn $ME$ (từ $M$ trên $AD$ đến $E$ trên $AB$).
• Mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ ($y=0$): $z=x-\frac{1}{2}$, đoạn $EF$ (từ $E$ đến $F$ trung điểm $B{B}^{\prime }$).
• Mặt $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ ($x=1$): $z=y+\frac{1}{2}$, đoạn $FN$ (từ $F$ đến $N$ trên $B^{\prime }{C}^{\prime }$).
• Mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ($z=1$): $x+y=\frac{3}{2}$, đoạn $NQ$ (từ $N$ đến $Q$ trung điểm $D^{\prime }{C}^{\prime }$).
• Mặt $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ($y=1$): $z=x+\frac{1}{2}$, đoạn $QP$ (từ $Q$ đến $P$ trên $D{D}^{\prime }$).
• Mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ ($x=0$): $z=y-\frac{1}{2}$, đoạn $PM$.
Vậy giao tuyến của $(MNP)$ với các mặt của hình hộp là lục giác $MEFNQP$ (các đoạn $ME,EF,FN,NQ,QP,PM$ nằm lần lượt trên sáu mặt nói trên).

e) Ba mặt phẳng đều có phương trình dạng $-x-y+z=c$: $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$: $c=0$; $(MNP)$: $c=-\frac{1}{2}$; $(C^{\prime }BD)$: qua $B(1;0;0)$ nên $-x-y+z=-1$, tức $c=-1$. Vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (MNP)\parallel (C^{\prime }BD)$ và khoảng cách giữa hai mặt phẳng liên tiếp bằng nhau (bước $\frac{1}{2}$ theo $c$). Một đường thẳng bất kỳ cắt ba mặt phẳng song song này tại $I,J,H$ thì các đoạn bị chia tỉ lệ với khoảng cách giữa các mặt phẳng, do đó $\frac{IJ}{JH}=\frac{1/2}{1/2}=1$.