Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tính đúng sai của các câu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh lập phương là $a$, tọa hóa $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a),B^{\prime }(a,0,a),D^{\prime }(0,a,a)$. a) $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ nên $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành $\Rightarrow BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$: đúng. b) $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a,a,0)$, tích vô hướng $-a^2+a^2=0$ $\Rightarrow (AC,B^{\prime }{D}^{\prime })=90^{\circ }$: đúng. c) $AC=C{D}^{\prime }=A{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$ (các đường chéo của các mặt vuông) nên tam giác $AC{D}^{\prime }$ đều: đúng. d) $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a,0,-a)$, $\cos (AC,A^{\prime }B)=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0.408$, góc $\approx 65.9^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(a,a,0)\cdot (-a,a,0)=0$ nên góc bằng $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba cạnh $AC,C{D}^{\prime },A{D}^{\prime }$ đều là đường chéo mặt bằng $a\sqrt{2}$, tam giác đều.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (AC,A^{\prime }B)=\frac{1}{\sqrt{6}}$, góc $\approx 65.9^{\circ }\ne 30^{\circ }$.