Cho hình thoi tâm $O$, cạnh bằng $a$ và $\hat{A}=60^{\circ }$. Kết luận nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ tâm $O$, cạnh $a$, $\hat{A}=60^{\circ }$ nên $\hat{B}=120^{\circ }$. Đường chéo xuất phát từ đỉnh $A$ là $AC$: theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ có $AB=BC=a$, $\hat{B}=120^{\circ }$: $A{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2$, suy ra $AC=a\sqrt{3}$. Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Kiểm tra các phương án khác: đường chéo $BD$ có $B{D}^2=2a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=a^2$ nên $BD=a$, $\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{a}{2}\ne \left|\overrightarrow{OA}\right|$, do đó B, C, D sai. Vậy đáp án A đúng.