Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 1, $C_2$ là hình vuông có các đỉnh là các trung điểm của cạnh hình vuông $C_1$. Tương tự, gọi $C_3$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông $C_2$. Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n,\dots$ Gọi $S_{10}$ là tổng diện tích của 10 hình vuông đầu tiên của dãy. Tính $512S_{10}$.

Diện tích của hình vuông $C_1$ là 1. Độ dài đường chéo hình vuông $C_1$ là $\sqrt{2}$. Hình vuông $C_2$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_1$. $\Rightarrow$ Diện tích của hình vuông $C_2$ là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$. Hình vuông $C_3$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_2$. $\Rightarrow$ Diện tích của hình vuông $C_3$ là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^4$. …………………… Hình vuông $C_n$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_{n-1}$. $$\Rightarrow \text{Diện tıˊch của hıˋnh vuoˆng }{C}_n\text{ laˋ }{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2(n-1)}$$ Do đó, dãy diện tích các hình vuông $C_1,C_2,C_3,...,C_n,...$ lập thành cấp số nhân với số hàng đầu $$u_1=1,q={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{10}=u_1.\frac{1-q^{10}}{1-q}=\frac{1023}{512}\Rightarrow 512S_{10}=1023$$ Đáp án: 1023