Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $BC=2a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, biết $SA\perp (ABC)$ và mặt $(SBC)$ hợp với đáy một góc $45^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AM\perp BC$, với $BC=2a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ ta có $AM=\frac{a}{\tan 60^{\circ }}=\frac{a}{\sqrt{3}}$, diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a^2}{\sqrt{3}}$.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$, do đó $BC\perp (AMS)$ suy ra giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$, và $SM\perp BC$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}=45^{\circ }$, nên $SA=AM\tan 45^{\circ }=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a^3}{9}$.