Cho khối chóp $S.ABC$ được đặt vào trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $B=(0;6;0)$, $C=(8;0;0)$, $A$ là điểm trên mặt $(Oxy)$ và $S$ là điểm nằm trên trục $Oz$ sao cho $\overrightarrow{AS}=-\frac{1}{12}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(a;b;0)$, $S=(0;0;s)$. Khi đó $\overrightarrow{AS}=(-a;-b;s)$, $\overrightarrow{AB}=(-a;6-b;0)$, $\overrightarrow{AC}=(8-a;-b;0)$.
Tích có hướng: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left(0;0;(-a)(-b)-(6-b)(8-a)\right)$.
Tính thành phần thứ ba: $ab-(48-6a-8b+ab)=6a+8b-48$.
Theo giả thiết $\overrightarrow{AS}=-\frac{1}{12}[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$, so sánh từng thành phần: $-a=0\Rightarrow a=0$; $-b=0\Rightarrow b=0$; $s=-\frac{1}{12}(6a+8b-48)=\frac{48-6a-8b}{12}=\frac{48}{12}=4$.
Vậy $A=(0;0;0)$, $S=(0;0;4)$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$: $V=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\cdot \overrightarrow{OS}\right|$.
Ta có $[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=(0;0;-48)$, nên $V=\frac{1}{6}\cdot |(-48)\cdot 4|=\frac{192}{6}=32$.
Ghi chú: nhận xét về lỗi trung gian trong dữ liệu nguồn là không chính xác — thành phần thứ ba của tích có hướng đúng là $6a+8b-48$, và đáp số $V=32$ được kiểm tra lại là đúng.