Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Khi đó $C{B}^{\prime }$ song song với

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$). Ta có phân tích $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=-(\vec{a}+\vec{c})+2\left(\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}\right)=-\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{AM}$, tức $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(A{C}^{\prime }M)$, nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$ hoặc $C{B}^{\prime }\subset (A{C}^{\prime }M)$. Vì $C\notin (A{C}^{\prime }M)$ (nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{AM}$ thì so sánh hệ số theo $\vec{b}$ cho $\beta =0$, theo $\vec{c}$ cho $\alpha =1$, nhưng khi đó hệ số theo $\vec{a}$ là $1\ne 0$, vô lý) nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$. Kiểm tra các đáp án khác: với $\vec{a}=(0,0,1),\vec{b}=(1,0,0),\vec{c}=(0,1,0)$ thì $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(1,-1,1)$; $(B{C}^{\prime }M)$ có pháp tuyến $(1,0.5,0.5)$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}\cdot \vec{n}=1\ne 0$ nên $C{B}^{\prime }$ cắt $(B{C}^{\prime }M)$; $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\vec{c}-\frac{\vec{a}}{2}=(0,1,-0.5)$ và $\overrightarrow{AM}=(0.5,0,1)$ đều không cùng phương với $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$. Vậy đáp án A đúng, khớp với đáp án nguồn.