Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Tại mỗi đỉnh lục giác đều cạnh 90 cm cắt hai tam giác vuông bằng nhau có cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ dọc theo cạnh, nên cạnh đáy lục giác sau khi cắt là $a=90-2x$ với $0<x<45$. Khi gập lên, chiều cao lăng trụ là cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông (góc $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$): $h=x\sqrt{3}$.

Thể tích lăng trụ lục giác đều:
$$V(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{2}(90-2x{)}^2\cdot x\sqrt{3}=\frac{9}{2}x(90-2x{)}^2.$$

Xét $f(x)=x(90-2x{)}^2$ trên $(0;45)$:
$$f^{\prime }(x)=(90-2x{)}^2-4x(90-2x)=(90-2x)(90-6x).$$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=45$ (loại) hoặc $x=15$. Trên $(0;15)$ có $f^{\prime }(x)>0$, trên $(15;45)$ có $f^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=15$.

Vậy $x=15$ (cm), trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 101, Câu 6 = 15).