Cho phương trình $\left(\frac{1}{4}{\log }_{\sqrt{2}}^{2}x-3{\log }_{2}x+2\right)\sqrt{3^x-m}=0$ ($m$ là tham số thực).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ ($x>0$). Ta có ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x=2t$, nên $\frac{1}{4}{\log }_{\sqrt{2}}^{2}x-3{\log }_{2}x+2=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$. Nhân tử thứ nhất triệt tiêu khi $t=1$ hoặc $t=2$, tức $x=2$ hoặc $x=4$. Nhân tử thứ hai triệt tiêu khi $3^x=m$, tức $x={\log }_{3}m$ (cần $m>0$ và $x>0\iff m>1$). Điều kiện xác định: $x>0$ và $3^x\ge m$.

a) Với $m\le 0$, điều kiện $3^x\ge m$ luôn đúng nhưng vẫn cần $x>0$ (vì có ${\log }_{2}x$). Tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. → Sai.

b) Số nghiệm theo $m$: với $m\le 1$: hai nghiệm $x=2,4$; với $1<m<9$: ba nghiệm $x=2,4,{\log }_{3}m$; với $m=9$: ${\log }_{3}9=2$ trùng $x=2$, còn $x=4$ thỏa $3^4\ge 9$, nên đúng hai nghiệm; với $9<m<81$: hai nghiệm $x=4,{\log }_{3}m$; với $m=81$: một nghiệm; với $m>81$: một nghiệm $x={\log }_{3}m$. Vậy đúng hai nghiệm phân biệt khi $m\le 1$ hoặc $m\in [9;81)$. Giá trị nguyên dương: $m=1$, $m=9$, $m\in \{10,\dots ,80\}$ (71 giá trị), tổng $1+1+71=73$ giá trị. → Đúng.

c) Với mọi $m\le 0$, $3^x-m>0$ với mọi $x$ và tập xác định $x>0$ chứa $x=2,4$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x=2$ và $x=4$. → Đúng.

d) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $1<m<9$ (lúc đó $x=2$, $x=4$, $x={\log }_{3}m\in (0;2)$ đôi một khác nhau và đều hợp lệ). Các giá trị nguyên dương: $m\in \{2,3,4,5,6,7,8\}$ — chỉ 7 giá trị, không phải 78. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\le 0$, điều kiện $3^x\ge m$ luôn đúng nhưng do có ${\log }_{2}x$ nên vẫn cần $x>0$; tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt khi $m\le 1$ hoặc $m\in [9;81)$ (tại $m=9$, ${\log }_{3}9=2$ trùng nghiệm $x=2$). Giá trị nguyên dương: $m=1$, $m=9$ và $m=10,\dots ,80$, tổng $1+1+71=73$ giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với mọi $m\le 0$, $3^x-m>0$ với mọi $x>0$, nên $x=2$ và $x=4$ (nghiệm của $t^2-3t+2=0$) luôn là hai nghiệm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $1<m<9$, tức $m\in \{2,3,\dots ,8\}$ — chỉ có 7 giá trị nguyên dương, không phải 78.