Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;-1), C(6;2):
a) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA.

b) Lập phương trình đường cao AH và phương trình đường trung tuyến AM.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Cho A(1;4), B(3;−1), C(6;2).

a) Phương trình các cạnh:
- Cạnh AB: $\overrightarrow{AB}=(2;-5)$ nên ${\vec{n}}_{AB}=(5;2)$, qua A(1;4): $5(x-1)+2(y-4)=0\iff 5x+2y-13=0$.
- Cạnh BC: $\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn ${\vec{n}}_{BC}=(1;-1)$, qua B(3;−1): $(x-3)-(y+1)=0\iff x-y-4=0$.
- Cạnh CA: $\overrightarrow{CA}=(-5;2)$, chọn ${\vec{n}}_{CA}=(2;5)$, qua C(6;2): $2(x-6)+5(y-2)=0\iff 2x+5y-22=0$.

b) Đường cao AH vuông góc với BC nên ${\vec{n}}_{AH}=\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn $(1;1)$, qua A(1;4): $(x-1)+(y-4)=0\iff x+y-5=0$.

Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC: $M\left(\frac{9}{2};\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)$ có vtcp $(1;-1)$, nên ${\vec{n}}_{AM}=(1;1)$, qua A(1;4): $x+y-5=0$.

Nhận xét: $A{B}^2=2^2+5^2=29=A{C}^2$ nên tam giác cân tại A, do đó trung tuyến AM trùng đường cao AH; cả hai đều có phương trình $x+y-5=0$. Kiểm tra: B(3;−1): $5\cdot 3+2\cdot (-1)=13$ ✓; C(6;2): $6-2=4$ ✓; A(1;4): $2+20=22$ ✓; M(9/2;1/2): $9/2+1/2=5$ ✓.