Cho tam giác $ABC$, có $\hat{A}=60^{\circ },b=20,c=25$.

a) Tính diện tích $S$ và chiều cao $h_a$.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho tam giác ABC với  = 60°, b = AC = 20, c = AB = 25.

a) Diện tích: S = (1/2)bc·sin A = (1/2)·20·25·sin 60° = 250·(√3/2) = 125√3.

Tính cạnh a bằng định lí cosin: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 400 + 625 − 2·20·25·(1/2) = 1025 − 500 = 525, nên a = 5√21.

Chiều cao: h_a = 2S/a = 250√3/(5√21) = 50√3/√21 = 50/√7 = 50√7/7 ≈ 18,9.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/(2sin A) = 5√21/(2·(√3/2)) = 5√21/√3 = 5√7 ≈ 13,23.

Nửa chu vi: p = (a + b + c)/2 = (5√21 + 45)/2.

Bán kính đường tròn nội tiếp: r = S/p = 125√3·2/(45 + 5√21) = 250√3/(45 + 5√21) = 50√3/(9 + √21). Nhân liên hợp: r = 50√3(9 − √21)/(81 − 21) = 50√3(9 − √21)/60 = (5√3(9 − √21))/6 = (15√3 − 5√7)/2 ≈ 6,38 (kiểm tra: 216,5/33,96 ≈ 6,375 ✓).

Vậy S = 125√3, h_a = 50√7/7, R = 5√7, r = (15√3 − 5√7)/2.