Cho tam giác $ABC$ có $A(1;3)$ và hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$ và p $CN:x-2y+2=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B\left(b;\frac{10-b}{7}\right)\in BM$ và $C\left(c;\frac{c+2}{2}\right)\in CN$.

Trung điểm $N$ của $AB$ là $N\left(\frac{1+b}{2};\frac{3+\frac{10-b}{7}}{2}\right)$. Vì $N\in CN$: $x-2y+2=0$, thay vào: $\frac{1+b}{2}-\left(3+\frac{10-b}{7}\right)+2=0$. Nhân với 14: $7+7b-42-20+2b+28=0\Rightarrow 9b-27=0\Rightarrow b=3$. Suy ra $B(3;1)$.

Trung điểm $M$ của $AC$ là $M\left(\frac{1+c}{2};\frac{3+\frac{c+2}{2}}{2}\right)$. Vì $M\in BM$: $x+7y-10=0$, thay vào: $\frac{1+c}{2}+\frac{56+7c}{4}-10=0$. Nhân với 4: $2+2c+56+7c-40=0\Rightarrow 9c+18=0\Rightarrow c=-2$. Suy ra $C(-2;0)$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $B(3;1)$ và $C(-2;0)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-5;-1)$, phương trình: $\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{-1}$, tức $x-5y+2=0$.

Kiểm tra: $B(3;1)$: $3-5+2=0$ ✓; $C(-2;0)$: $-2+2=0$ ✓.