Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-(m+2)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=x^2-(m+2)x+8m+1$ với hệ số $a=1>0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)>0$ với mọi $x$, tức tam thức luôn dương, tương đương $\Delta <0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(m+2{)}^2-4(8m+1)=m^2+4m+4-32m-4=m^2-28m=m(m-28).$$

Yêu cầu $\Delta <0$:
$$m(m-28)<0⟺0<m<28.$$

Vậy $m\in (0;28)$. Kiểm tra: với $m=1$, $f(x)=x^2-3x+9$ có $\Delta =9-36=-27<0$, luôn dương, thỏa mãn. Với $m=0$, $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép nên bất phương trình có nghiệm, loại. Kết quả phù hợp.