Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $P$ là trung điểm của $AG$ và $Q$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AQ}$. Xác định giá trị của $m$ để $B$, $P$ và $Q$ thẳng hàng. KQ: [Trả lời]

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A$ làm gốc, $$\begin{gathered} vecAB= \\ vecb, \\ vecAC= \\ vecc \end{gathered}$$. Trọng tâm $G$ nên $$\begin{gathered} vecAG= \\ frac \\ vecb+ \\ vecc3 \end{gathered}$$, do đó $P$ trung điểm $AG$: $$\begin{gathered} vecAP= \\ frac \\ vecAG2= \\ frac \\ vecb+ \\ vecc6 \end{gathered}$$. Vì $$\begin{gathered} vecAC=m \\ vecAQ \end{gathered}$$ nên $$\begin{gathered} vecAQ= \\ frac \\ veccm \end{gathered}$$. Để $B,P,Q$ thẳng hàng, tồn tại $t$ sao cho $$\begin{gathered} vecAP=(1-t) \\ vecAB+t \\ vecAQ=(1-t) \\ vecb+ \\ fractm \\ vecc \end{gathered}$$. So sánh hệ số: $$\begin{gathered} 1-t= \\ frac16 \\ Rightarrowt= \\ frac56 \end{gathered}$$; và $$\begin{gathered} fractm= \\ frac16 \\ Rightarrow \\ frac56m= \\ frac16 \\ Rightarrowm=5 \end{gathered}$$. Kiểm tra: $m=5$ thì $$\begin{gathered} vecAQ= \\ frac15 \\ vecc \end{gathered}$$, $P$ nằm trên đoạn $BQ$ với $$\begin{gathered} vecBP= \\ frac56 \\ vecBQ \end{gathered}$$, thỏa mãn.