Cho tam thức bậc hai $f(x)=\left(m^2+2\right)x^2-2(m+1)x+1$

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $f(x)=3x^2-4x+1$, $a=3>0$, ${\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-3=1>0$ (nghĩa là $\Delta =4>0$), nên ý a) sai. Tam thức có hai nghiệm $x=\frac{1}{3}$ và $x=1$, đổi dấu dương ngoài khoảng: $f(x)\ge 0$ khi $x\le \frac{1}{3}$ hoặc $x\ge 1$; trên $\left[\frac{1}{3};1\right]$ thì $f(x)\le 0$ (ví dụ $f(1/2)=-\frac{1}{4}$), nên ý b) sai. Với $m=2$: $f(x)=6x^2-6x+1<1\iff 6x^2-6x<0\iff 0<x<1$, không có giá trị nguyên $x$ nào, nên ý c) sai. Xét ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+2)=2m-1<0$ khi $m<\frac{1}{2}$, đồng thời $a=m^2+2>0$ với mọi $m$, do đó $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$, ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $f(x)=3x^2-4x+1$ có $a=3>0$ nhưng $\Delta =16-12=4>0$, không phải $\Delta <0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của $3x^2-4x+1=0$ là $x=\frac{1}{3},x=1$; vì $a>0$ nên $f(x)\ge 0$ khi $x\le \frac{1}{3}$ hoặc $x\ge 1$, còn trên $\left[\frac{1}{3};1\right]$ thì $f(x)\le 0$ (chẳng hạn $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}<0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$: $f(x)=6x^2-6x+1<1\iff 6x(x-1)<0\iff 0<x<1$, không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn (0 giá trị, không phải 2).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+2)=2m-1<0$ khi $m<\frac{1}{2}$ và $a=m^2+2>0$, nên $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$.