Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$. Khẳng định nào sau đây SAI?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$; tương tự $\overrightarrow{G_{2}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{G_{2}M}-\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AC$ và $G_1{G}_2\parallel AC$. Do đó $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ (vì $AC$ cắt mặt $(ABD)$ tại $A$... xét kỹ: $G_1{G}_2\parallel AC$, mà $AC$ nằm trong $(ABC)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$; tương tự $G_1{G}_2$ không song song $(ABD)$? Kiểm tra lại: $G_1{G}_2\parallel AC$, $AC\subset (ABC)$ và $AC\cap (ABD)=A$, nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ đúng; với $(ABD)$: $G_1{G}_2\parallel AC$ và $AC$ không nằm trong $(ABD)$, $G_1$ không thuộc $(ABD)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ cũng đúng vì đường thẳng song song với một đường trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó — thực tế $AC$ không song song với $(ABD)$ nhưng $G_1{G}_2$ vẫn có thể song song $(ABD)$ nếu $G_1{G}_2$ song song một đường nào đó trong $(ABD)$. Tính lại bằng tọa độ: đặt $A,B,C,D$ tùy ý, $G_1=\frac{B+C+D}{3}$, $G_2=\frac{A+C+D}{3}$, nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}(\vec{A}-\vec{B})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$ và $G_1{G}_2\parallel AB$. Suy ra $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ và $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ (vì $AB$ nằm trong cả hai mặt phẳng, còn $G_1,G_2$ không thuộc các mặt phẳng đó), nên A, B đúng. Hai trung tuyến $B{G}_1$ (của tam giác $BCD$) và $A{G}_2$ (của tam giác $ACD$) cùng đi qua trung điểm $M$ của $CD$, nên ba đường thẳng $B{G}_1$, $A{G}_2$, $CD$ đồng quy tại $M$, tức C đúng. Khẳng định D sai vì $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB\ne \frac{2}{3}AB$.