Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$.

Vì tam giác $ACD$ đều cạnh 2 nên $AI\perp CD$ (đường trung tuyến đồng thời là đường cao); tương tự tam giác $BCD$ đều cạnh 2 nên $BI\perp CD$. Do đó $CD\perp (ABI)$, suy ra $CD\perp IJ$.

Tương tự, tam giác $CAB$ đều cạnh 2 nên $CJ\perp AB$; tam giác $DAB$ đều cạnh 2 nên $DJ\perp AB$. Do đó $AB\perp (CDJ)$, suy ra $AB\perp IJ$.

Vậy $IJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $IJ$.

Tính $IJ$: tam giác $IAB$... xét tam giác $JAB$ cân tại $J$ với $JA=JB=\sqrt{3}$ (đường cao của tam giác đều cạnh 2), $AB=2$. Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $IJ$ là đường cao: $IJ=\sqrt{J{A}^2-I{A}^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $\sqrt{2}\approx 1,41$.