Chọn ngẫu nhiên 3 số $a;b;c$ trong tập hợp $S=\{1;2;3;...;26\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m;n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức: $T=mn+m+n$.

Đáp án: 989.

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 số $a;b;c$ trong tập hợp $S=\{1;2;3;...;25;26\}$ là: $C_{26}^3=2600$ cách.

Đặt: $S_1=\{5;10;15;20;25\}$ ;

$S_2=\{1;4;6;9;11;14;16;19;21;24;26\}$ ;

$S_3=\{2;3;7;8;12;13;17;18;22;23\}$ .

Nhận xét:

- Nếu $x\in S_1$ thì $x^2$ chia hết cho 5.

- Nếu $x\in S_2$ thì $x^2$ chia 5 dư 1.

- Nếu $x\in S_3$ thì $x^2$ chia 5 dư 4.

Để $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 ta có hai trường hợp sau:

TH1: Cả ba số $a;b;c$ đều thuộc $S_1$. Khi đó số cách chọn $a;b;c$ là: $C_5^3=10$ cách.

TH2: Trong 3 số $a;b;c$ có một số thuộc $S_1$, một số thuộc $S_2$, một số thuộc $S_3$. Khi đó số cách chọn $a;b;c$ là: $\mathrm{5.11.10}=550$ cách.

Tổng số cách chọn $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 là: $10+550=560$ cách.

Xác suất để chọn được 3 số $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 là: $\frac{560}{2600}=\frac{14}{65}$.

Vậy $m=14;n=65$ và ta có $T=mn+m+n=14.65+14+65=989$.