Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0<y\le 2022$ và ${\log }_2\left(\frac{3^x-1}{y}\right)=y+1-3^x$?

Điều kiện $3^x-1>0\iff 3^x>1\iff x>0$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$. Phương trình tương đương ${\log }_2(3^x-1)-{\log }_{2}y=y-(3^x-1)\iff {\log }_2(3^x-1)+(3^x-1)={\log }_{2}y+y$. Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $3^x-1=y$. Vì $0<y\le 2022$ nên $0<3^x-1\le 2022\iff 1<3^x\le 2023\iff 0<x\le {\log }_{3}2023\approx 6,92$. Vì $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $x\in \{1,2,3,4,5,6\}$. Mỗi giá trị của $x$ cho duy nhất một giá trị nguyên dương tương ứng của $y=3^x-1$. Vậy có 6 cặp số nguyên thỏa mãn. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.