Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ với $1\le x,y\le 2023$ và thỏa mãn $(2x+4y-xy-8){\log }_2\left(\frac{2x-1}{x-4}\right)\ge (xy+2x+3y+6){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)$?

Điều kiện: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast },x,y\le 2023$ và $\frac{2x-1}{x-4}>0,\frac{2y}{y+2}>0\iff x>4,y>0$ (do $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Bất phương trình tương đương với:

$(x-4)(y-2){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+(x+3)(y+2){\log }_3\left(\frac{y-2}{y+2}+1\right)\le 0$ $(\ast )$.

- Với $y=1$: $(\ast )$ trở thành $-(x-4){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+3(x+3){\log }_3\frac{2}{3}\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y=2$: $(\ast )$ trở thành $0\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y>2,x>4$: vế trái của $(\ast )$ dương nên $(\ast )$ vô nghiệm.

Vậy có tất cả $2019+2019=4038$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.