Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z{|}^2=2|z+\bar{z}|+4$ và $|z-1-i|=|z-3+3i|$?

Chọn C.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $z+\bar{z}=2x$, $|z{|}^2=x^2+y^2$.
Điều kiện thứ nhất: $x^2+y^2=2|2x|+4=4|x|+4$.
Điều kiện thứ hai: $|(x-1)+(y-1)i|=|(x-3)+(y+3)i|\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2=(x-3{)}^2+(y+3{)}^2$
$\iff -2x-2y+2=-6x+6y+18\iff 4x-8y-16=0\iff x-2y-4=0\iff x=2y+4$.
Thay $x=2y+4$ vào điều kiện thứ nhất:
- Trường hợp 1: $x\ge 0\Rightarrow 2y+4\ge 0\iff y\ge -2$. Khi đó $x^2+y^2=4x+4$:
$(2y+4{)}^2+y^2=4(2y+4)+4\iff 4y^2+16y+16+y^2=8y+16+4$
$\iff 5y^2+8y-4=0\iff y=\frac{2}{5}$ hoặc $y=-2$.
+ Với $y=-2\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn $x\ge 0$). Ta được $z=-2i$.
+ Với $y=\frac{2}{5}\Rightarrow x=2(\frac{2}{5})+4=\frac{24}{5}$ (thỏa mãn $x\ge 0$). Ta được $z=\frac{24}{5}+\frac{2}{5}i$.
- Trường hợp 2: $x<0\Rightarrow 2y+4<0\iff y<-2$. Khi đó $x^2+y^2=-4x+4$:
$(2y+4{)}^2+y^2=-4(2y+4)+4\iff 5y^2+16y+16=-8y-16+4=-8y-12$
$\iff 5y^2+24y+28=0\iff (5y+14)(y+2)=0\iff y=-\frac{14}{5}$ (vì $y<-2$, loại $y=-2$).
+ Với $y=-\frac{14}{5}\Rightarrow x=2(-\frac{14}{5})+4=-\frac{8}{5}<0$ (thỏa mãn).
Ta được $z=-\frac{8}{5}-\frac{14}{5}i$.
Vậy có tất cả 3 số phức $z$ thỏa mãn.