Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh góc vuông, $b$ là cạnh góc vuông còn lại, $c$ là cạnh huyền. Theo đề: $a+c=120$, tức $c=120-a$ với $0<a<60$ (vì $c>a$). Theo định lý Pythagore: $a^2+b^2=(120-a{)}^2\Rightarrow b^2=14400-240a$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}$, nên $S^2=\frac{a^2(14400-240a)}{4}$. Xét $f(a)=a^2(14400-240a)$ trên $(0;60)$. Có $f^{\prime }(a)=28800a-720a^2=720a(40-a)$, nên $f$ đạt cực đại tại $a=40$. Khi đó $b^2=14400-9600=4800\Rightarrow b=40\sqrt{3}$, và cạnh huyền $c=120-40=80$ cm. Kiểm tra: $40^2+(40\sqrt{3}{)}^2=1600+4800=6400=80^2$ đúng. Vậy cạnh huyền của tấm gỗ có diện tích lớn nhất là $80$ cm.