Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt{2x^2+7x+1}=\sqrt{3x^2+4x-9}$ b. $\sqrt{5x^2-5x}=2x-1$

c. $\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}$ d. $\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}$

e. $\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}$ f. $\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x$

g. $\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5$ h. $\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4$

i. $\sqrt{2x-3}=x-3$ j. $(x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Giải các phương trình chứa căn:

a) Bình phương hai vế: $2x^2+7x+1=3x^2+4x-9\iff x^2-3x-10=0\iff x=5$ hoặc $x=-2$. Với $x=-2$: $2x^2+7x+1=-5<0$ (loại). Với $x=5$: hai vế đều bằng $\sqrt{86}$. Vậy $x=5$.

b) Điều kiện $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$. Bình phương: $5x^2-5x=4x^2-4x+1\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Chỉ nhận $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa $x\ge \frac{1}{2}$). Vậy $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

c) Bình phương: $-x^2+77x-212=x^2+x-2\iff 2x^2-76x+210=0\iff x^2-38x+105=0\iff x=35$ hoặc $x=3$. Kiểm tra: với $x=35$, hai vế bằng $\sqrt{1258}$; với $x=3$, hai vế bằng $\sqrt{10}$. Cả hai thỏa mãn. Vậy $x\in \{3;35\}$.

d) Điều kiện $x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 1$. Bình phương: $x^2+25x-26=x-x^2\iff 2x^2+24x-26=0\iff x^2+12x-13=0\iff x=1$ hoặc $x=-13$. Chỉ $x=1$ thuộc $[0;1]$ (kiểm tra: hai vế bằng 0). Vậy $x=1$.

e) Bình phương: $4x^2+8x-37=-x^2-2x+3\iff 5x^2+10x-40=0\iff x^2+2x-8=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Điều kiện $-x^2-2x+3\ge 0\iff -3\le x\le 1$: cả hai nghiệm đều loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

f) Điều kiện $6-x\ge 0\iff x\le 6$. Bình phương: $2x^2-13x+16=(6-x{)}^2=x^2-12x+36\iff x^2-x-20=0\iff x=5$ hoặc $x=-4$. Cả hai thỏa $x\le 6$; kiểm tra: $x=5$: $\sqrt{1}=1=6-5$; $x=-4$: $\sqrt{100}=10=6-(-4)$. Vậy $x\in \{-4;5\}$.

g) Điều kiện $x-5\ge 0\iff x\ge 5$. Bình phương: $3x^2-33x+55=(x-5{)}^2\iff 2x^2-23x+30=0\iff x=\frac{23\pm 17}{4}$, tức $x=10$ hoặc $x=\frac{3}{2}$. Chỉ $x=10\ge 5$ (kiểm tra: $\sqrt{25}=5=10-5$). Vậy $x=10$.

h) Điều kiện $x-4\ge 0\iff x\ge 4$. Bình phương: $-x^2+3x+1=(x-4{)}^2\iff 2x^2-11x+15=0\iff x=3$ hoặc $x=\frac{5}{2}$. Cả hai đều $<4$, loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

i) Điều kiện $x-3\ge 0\iff x\ge 3$. Bình phương: $2x-3=(x-3{)}^2\iff x^2-8x+12=0\iff x=2$ hoặc $x=6$. Chỉ $x=6\ge 3$ (kiểm tra: $\sqrt{9}=3=6-3$). Vậy $x=6$.

j) $(x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9=(x-3)(x+3)\iff (x-3)\left(\sqrt{x^2+4}-(x+3)\right)=0$.
• $x=3$: thỏa (hai vế bằng 0).
• $\sqrt{x^2+4}=x+3$, cần $x\ge -3$; bình phương: $x^2+4=x^2+6x+9\iff x=-\frac{5}{6}$ (thỏa $x\ge -3$; kiểm tra: $\sqrt{25/36+4}=\sqrt{169/36}=13/6$ và $x+3=13/6$).
Vậy $x\in \left\{3;-\frac{5}{6}\right\}$.