Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{4}{3}{\sin }^{3}x+4{\cos }^{2}x-5\sin x+1$. Tính giá trị của $M-m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, khi đó ${\cos }^{2}x=1-t^2$ và hàm số trở thành $f(t)=\frac{4}{3}{t}^3-4t^2-5t+5$ trên đoạn $[-1;1]$. Ta có $f^{\prime }(t)=4t^2-8t-5=0\Rightarrow t=\frac{8\pm \sqrt{64+80}}{8}=\frac{8\pm 12}{8}$, tức $t=\frac{5}{2}$ (loại) hoặc $t=-\frac{1}{2}$. Tính giá trị: $f(-1)=-\frac{4}{3}-4+5+5=\frac{16}{3}$; $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{6}-1+\frac{5}{2}+5=\frac{19}{3}$; $f(1)=\frac{4}{3}-4-5+5=-\frac{8}{3}$. Vậy $M=\frac{19}{3}$, $m=-\frac{8}{3}$, nên $M-m=\frac{19}{3}+\frac{8}{3}=9$.