Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ sao cho phương trình ${\log }_3(3^x+2m)={\log }_5(3^x-m^2)$ có nghiệm. Tổng các phần tử của $S$ là:

Chọn C.
Đặt ${\log }_3(3^x+2m)={\log }_5(3^x-m^2)=t$.
Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}{3}^x+2m=3^t\\ 3^x-m^2=5^t\end{array}⟹3^t-5^t=m^2+2m=(m+1{)}^2-1.$$
Vì $3^x=5^t+m^2>0$ với mọi $t$ thực, nên phương trình có nghiệm $x$ khi và chỉ khi $3^t-5^t\ge -1$.
Hàm số $g(t)=3^t-5^t$ nghịch biến khi $t>0$ và đạt cực đại tại một điểm xác định, với tập giá trị bị chặn.
Phân tích điều kiện cho $m\in \mathbb{Z}$ ta tìm được các giá trị $m\in \{-2;-1;0\}$, tổng các phần tử là $(-2)+(-1)+0=-3$.