Hàm số $y=a{x}^3-2x^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tính $a+2c+d$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số $y=a{x}^3-2x^2+cx+d$ cắt trục hoành tại $x=1$, $x=2$ (và $x=-1$), cắt trục tung tại điểm có hoành độ $d=2$ (đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, cực đại khoảng $2$ gần $x=0$, cực tiểu khoảng $-1$ giữa $1$ và $2$).

Thay $d=2$ và hai nghiệm $x=1$, $x=2$:
$$y(1)=a-2+c+2=0\Rightarrow a+c=0$$
$$y(2)=8a-8+2c+2=0\Rightarrow 4a+c=3$$
Trừ hai phương trình: $3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $c=-1$, $d=2$.

Kiểm tra: $y=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, đúng ba nghiệm $-1;1;2$ như đồ thị; $y^{\prime }=3x^2-4x-1$ cho cực đại tại $x\approx -0,215$ với $y\approx 2,1$ và cực tiểu tại $x\approx 1,55$ với $y\approx -0,63$, phù hợp hình vẽ.

Vậy $a+2c+d=1+2(-1)+2=1$.