Một vòng dây kẽm có dạng đường tròn bán kính $R=\frac{6}{\pi }$dm. Người ta cắt vòng dây kẽm này rồi chia làm hai phần để uốn thành hai hình gồm một tam giác vuông cân và một hình bán nguyệt. Khi tổng diện tích hai hình trên đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số giữa đoạn dây được uốn thành tam giác vuông cân đối với đoạn dây được uốn thành hình bán nguyệt bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi vòng dây: $L=2\pi R=2\pi \cdot \frac{6}{\pi }=12$ dm.

Gọi $x$ là độ dài đoạn dây uốn thành tam giác vuông cân, $y=12-x$ là độ dài đoạn dây uốn thành hình bán nguyệt với $0<x<12$.

Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông $a$: chu vi $x=a(2+\sqrt{2})\Rightarrow a=\frac{x}{2+\sqrt{2}}$, diện tích $S_1=\frac{a^2}{2}=\frac{x^2}{2(2+\sqrt{2}{)}^2}$.

Hình bán nguyệt bán kính $r$: chu vi $y=\pi r+2r=r(\pi +2)\Rightarrow r=\frac{y}{\pi +2}$, diện tích $S_2=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi y^2}{2(\pi +2{)}^2}$.

Tổng diện tích: $S=\frac{x^2}{2(2+\sqrt{2}{)}^2}+\frac{\pi (12-x{)}^2}{2(\pi +2{)}^2}$, với $0<x<12$.

Đặt $A=\frac{1}{2(2+\sqrt{2}{)}^2},B=\frac{\pi }{2(\pi +2{)}^2}$. Ta có $S=A{x}^2+B(12-x{)}^2$ là hàm bậc hai với hệ số dương nên đạt giá trị nhỏ nhất khi
$$S^{\prime }=2Ax-2B(12-x)=0⟺\frac{x}{12-x}=\frac{B}{A}=\frac{\pi (2+\sqrt{2}{)}^2}{(\pi +2{)}^2}.$$

Tính: $(2+\sqrt{2}{)}^2=6+4\sqrt{2}\approx 11,6569$; $(\pi +2{)}^2\approx 26,4359$.

Tỉ số $\frac{x}{y}=\frac{\pi (6+4\sqrt{2})}{(\pi +2{)}^2}\approx \frac{36,6204}{26,4359}\approx 1,3853\approx 1,39$.

Vậy khi tổng diện tích hai hình đạt giá trị nhỏ nhất, tỉ số giữa đoạn dây uốn thành tam giác vuông cân đối với đoạn dây uốn thành hình bán nguyệt xấp xỉ $1,39$.