Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{\left(1+2\cos x\right)\sin x}{\left(1-2\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}=\sqrt{3}$ trên đoạn $\left[-\frac{23}{3}\pi ;\frac{2023}{3}\pi \right]$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne \frac{1}{2}$, $\cos x\ne -1$, $\sin x\ne 0$.

Đặt $c=\cos x$, $s=\sin x$. Phương trình: $(1+2c)s=\sqrt{3}(1-2c)(1+c)$, với $g(c)=\frac{(1-2c)(1+c)}{1+2c}=\frac{1-c-2c^2}{1+2c}$ thì $s=\sqrt{3}g(c)$.

Xét dấu $g$: $g>0$ khi $c\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$; $g<0$ khi $c\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)$.

Bình phương hai vế (rồi kiểm tra lại): $(1-c^2)(1+2c{)}^2=3(1-c-2c^2{)}^2$. Vì $1-c-2c^2=(1+c)(1-2c)$ và $c\ne -1$: $(1-c)(1+2c{)}^2=3(1+c)(1-2c{)}^2$. Khai triển: $1+3c-4c^3=3-9c+12c^3\Rightarrow 8c^3-6c+1=0$.

Với $c=\cos \theta$: $2\cos 3\theta +1=0\Rightarrow \cos 3\theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\pm \frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Các giá trị $c$ phân biệt: $\cos \frac{2\pi }{9}\approx 0.766$, $\cos \frac{4\pi }{9}\approx 0.174$, $\cos \frac{8\pi }{9}\approx -0.940$.

Kiểm tra dấu (loại nghiệm ngoại lai từ khi bình phương):
- $c=\cos \frac{4\pi }{9}$: $g\approx 0.5686$, $\sqrt{3}g\approx 0.9848=\sin \frac{4\pi }{9}>0$ ✓ → họ $x\equiv \frac{4\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.
- $c=\cos \frac{2\pi }{9}$: $g\approx -0.3711$, $\sqrt{3}g\approx -0.6428=-\sin \frac{2\pi }{9}$ ✓ → họ $x\equiv -\frac{2\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.
- $c=\cos \frac{8\pi }{9}$: $g\approx -0.1975$, $\sqrt{3}g\approx -0.3420=-\sin \frac{8\pi }{9}$ ✓ → họ $x\equiv -\frac{8\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.

Đoạn $\left[-\frac{23\pi }{3};\frac{2023\pi }{3}\right]$ có độ dài $\frac{2046\pi }{3}=682\pi =341\cdot 2\pi$, và $-\frac{23\pi }{3}\equiv \frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$, tức đoạn tương đương $\left[\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}+682\pi \right]$. Vì tại hai đầu mút $\cos x=\frac{1}{2}$ (không thỏa điều kiện), mỗi họ có đúng $341$ nghiệm:
- Họ $\frac{4\pi }{9}$: nghiệm $\frac{4\pi }{9}+2k\pi$, $k=\mathrm{0..340}$; tổng $=341\cdot \frac{4\pi }{9}+340\cdot 341\pi$.
- Họ $-\frac{2\pi }{9}$: $k=\mathrm{1..341}$; tổng $=-\frac{682\pi }{9}+341\cdot 342\pi$.
- Họ $-\frac{8\pi }{9}$: $k=\mathrm{1..341}$; tổng $=-\frac{2728\pi }{9}+341\cdot 342\pi$.

Tổng cộng: $S=341\left(\frac{4\pi -2\pi -8\pi }{9}\right)+(115940+116622+116622)\pi =341\left(1024\pi -\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{341\cdot 3070\pi }{3}=\frac{1046870\pi }{3}\approx 1096279.7$.

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: $1096280$.