Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (như hình vẽ bên dưới). Biết $AB=5m;A^{\prime }{B}^{\prime }=3m;A{A}^{\prime }=4m$ và chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1100000 đồng $/m^3$. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $O^{\prime }$ là tâm của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Ta có $AO=\frac{AC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2};A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Vì $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ cắt nhau nên các điểm $A;A^{\prime };C;C^{\prime }$ đồng phẳng.

Trong $mp\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$, từ $A^{\prime }$ kẻ đường thẳng song song với $O{O}^{\prime }$ cắt $AO$ tại $K$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là khối chóp cụt tứ giác đều nên $O{O}^{\prime }\perp \left(ABCD\right);O{O}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.

Suy ra $O{O}^{\prime }\perp AO;O{O}^{\prime }\perp A^{\prime }{O}^{\prime }$.

Mà $A^{\prime }K//O{O}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }K\perp AO$ nên tứ giác $A^{\prime }KO{O}^{\prime }$ là hình chữ nhật suy ra $OK=A^{\prime }{O}^{\prime }$.

Ta có: $AK=AO-OK=AO-A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.

Tam giác $A{A}^{\prime }K$ vuông tại K có $A^{\prime }K=\sqrt{A^{\prime }{A}^2-A{K}^2}=\sqrt{16-2}=\sqrt{14}$.

Suy ra $O{O}^{\prime }=A^{\prime }K=\sqrt{14}$.

Diện tích hình vuông $ABCD$ là $S=A{B}^2=25$.

Diện tích hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $S^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime 2}=9$.

Thể tích của khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

$$V=\frac{1}{3}O{O}^{\prime }\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime }\right)$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{14}\left(25+\sqrt{25.9}+9\right)=\frac{49\sqrt{14}}{3}\left(m^3\right)$$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: $\frac{49\sqrt{14}}{3}.1100000\approx 67225111$ (đồng).