Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$. Điều kiện $Q(2)=500$: $16-192+576=400\Rightarrow C=100$, vậy $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$. a) Sai vì thiếu hằng số $+100$. b) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$: đúng. c) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)=0$ tại $t=0,6,12$; so sánh $Q(0)=100$, $Q(6)=1396$, $Q(12)=100$, $Q(13)=329$ nên max là 1396 người, không phải 1296: sai. d) Xét cực đại của $Q^{\prime }$: $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=0\Rightarrow t=6\pm 2\sqrt{3}$; tại $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ thì $Q^{\prime \prime \prime }<0$ nên $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=6-2\sqrt{3}$, không phải $t=6$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$ với $C=100$ (từ $Q(2)=500$), nên thiếu $+100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người.
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $Q(0)=100$, $Q(6)=1396$, $Q(12)=100$, $Q(13)=329$: lượng khách lớn nhất là 1396 người.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q^{\prime \prime }(t)=0\Rightarrow t=6\pm 2\sqrt{3}$; $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ giờ.