Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-\sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=\pi$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng $D$ quay xung quanh trục $Ox$ là:

Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng $H$ quay xung quanh trục $Ox$ là:

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng được tô đậm trong Hình 3. Công thức tính $S$ là:

$\int (2x{)}^{\sqrt{2}}\mathrm{d}x$ bằng:

$\int {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^2\mathrm{d}x$ bằng:

$\int \left(e^x+e^{-2x}\right)\mathrm{d}x$ bằng:

$\int {\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2\mathrm{d}x$ bằng:

$\int \left(5^{2x}-6e^{-\frac{x}{2}}\right)dx$ bằng:

Vi khuẩn E.coli sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của cơ thể. Một quần thể vi khuẩn E.coli được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh trưởng được cho bởi hàm số $f(t)=480.2^t\ln 2$. Trong đó $t$ tính bằng giờ $(t>0)$, $f(t)$ tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hàm số biểu thị số lượng cá thể theo thời gian $t$ là:

Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):x+3y-4z+5=0$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $K(1;1;1)$ nhận $\vec{u}=(1;0;1)$, $\vec{v}=(1;1;0)$ là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là:

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $D(3;0;0)$, $E(0;-2;0)$, $G(0;0;-7)$ có phương trình chính tắc là:

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $I(15;-16;17)$ và nhận $\vec{u}=(-7;8;-9)$ là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x-5}{8}=\frac{y-9}{6}=\frac{z-12}{3}$?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{4}$ có một vectơ chỉ phương là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng (P) có phương trình $2x-y+z-1=0$. Mặt phẳng nào sau đây song song với (P)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x+2y+z-1=0$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-1=0$, khoảng cách từ M $(1;1;0)$ đến $(P)$ bằng

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $v(t)$ là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian $t$ (giây), $a(t)$ là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian $t$ (giây).

Giả sử $v(t)$ là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian $t$ (giây), $a(t)$ là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian $t$ (giây). Xét chuyển động trong khoảng thời gian từ $c$ (giây) đến $b$ (giây).

Cho vật thể tròn xoay như ở Hình 5.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A{A}^{\prime }$ (Hình 3).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):y=0$, $(Q):\sqrt{3}x-y-2024=0$. Xét các vectơ ${\vec{n}}_1=(0;1;0)$, ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3};-1;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2024}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2025}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+1=0$. Xét các vectơ $\vec{u}=(2;1;-2)$, $\vec{n}=(2;2;-1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng
$${\Delta }_1:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+3}{2},{\Delta }_2:\frac{x+4}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{-1}.$$ Xét các vectơ ${\vec{u}}_1=(1;-1;2)$ và ${\vec{u}}_2=(2;1;-1)$.

Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{3^{x-2}}{2^{2x}}dx$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left(x^2-2\right)(2x+1)$ và $F(-1)=\frac{1}{6}$. Tính $F\left(-\frac{1}{2}\right)$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ và hình phẳng được tô màu như *Hình 6*. Tính diện tích hình phẳng đó (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Cho khối tròn xoay như *Hình 7*. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi hình phẳng cho ở Hình 7 khi quay quanh trục $Ox$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Cho $g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$, $(0\le x\le 7)$ trong đó $f(t)$ là hàm số có đồ thị như *Hình 8*. Tính $g(3)$.

Một vật được ném lên từ độ cao $300\mathrm{m}$ với vận tốc được cho bởi công thức $v(t)=-9,81t+29,43(m/s)$ (*Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus ioe, Cengage*). Gọi $h(t)(\mathrm{m})$ là độ cao của vật tại thời điểm $t$ (s). Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0$, $x=\pi$, đồ thị h.số $y=\cos x$ và trục $Ox$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ quay quanh $Ox$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t)=1-2\sin 2t$ (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ $t=0$ (giây) đến thời điểm $t=\frac{3\pi }{4}$ (giây). (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Cho hàm số $F(x)=x^3-2x+1$, $x\in \mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Gọi $G(x)$, $H(x)$ cũng là các nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $G(-1)=3$, $H(1)=-3$. Tính $G(x)-H(x)$.

Một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=2\cos t$ (m/s²). Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0$ (s) đến thời điểm $t=\pi$ (s). (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-4x+1$ và $F(2)=2$. Tính $F(3)$.

Cho đồ thị hàm số $y=2^{\frac{x}{2}}$ và hình phẳng được tô màu như $Hinh1$. Tính diện tích hình phẳng đó (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t)=5\cos t$ (m/s²). Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc 2,5 m/s. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong $\pi$ (s) đầu tiên.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2024}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2025}{-2}$, gọi $\vec{u}=(3;a;b)$ là 1 vectơ chỉ phương của $\Delta$. Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm A(1;2;3), B(5; -7; -1), đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A, B có dạng: $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+at\\ z=3-bt\end{array}$. Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2024}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2025}{-2}$ đi qua điểm $M(2024,m,n)$, tính giá trị biểu thức $\text{trị}2m+n$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm A(0;2;-3), B(5;-7;-1), C(1;1;1), mặt phẳng $(P):x+my+nz+k=0$, $m,n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tổng $m+n+k$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+my+2nz+1=0$, $(Q):-2x+y-z+15=0$. Biết (P) song song (Q), tính $m+n$. (kết quả làm tròn một chữ số thập phân)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+my+2z=0$ $(m>0)$ và M(0;1;0). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{\sqrt{6}}{6}$. Tính $m$.

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà tọa độ lần lượt là (1; 1; 10), (4; 3; 1), (3; 2; 5) và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình $x+my+nz+p=0$. Giá trị của $m+n+p$ là bao nhiêu? (kết quả làm tròn một chữ số thập phân)

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có $S(0;0;3,5)$, $ABCD$ là hình chữ nhật với $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;10;0)$ (Hình vẽ). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (kết quả làm tròn một chữ số thập phân)

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(1;2;1)$ và $B(3;0;1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(0;1;0)$, $N(2;1;3)$, $P(4;1;1)$. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (MNP) tại I(a,b;c). Tính a+b+c. (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).