Tìm các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2(m+1)x+3(m+1)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-2(m+1)x+3(m+1)$ với hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ không có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta \le 0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-3(m+1)=(m+1)(m+1-3)=(m+1)(m-2)$.
${\Delta }^{\prime }\le 0\iff -1\le m\le 2$.
Kiểm tra: với $m=-1$, bất phương trình thành $x^2\ge 0$ (đúng mọi $x$); với $m=2$ thành $(x-3{)}^2\ge 0$ (đúng mọi $x$); với $m=0$ thành $x^2-2x+3$ có ${\Delta }^{\prime }=-2<0$ và $a>0$ nên luôn dương (đúng). Vậy $-1\le m\le 2$.