Tìm $m$ để bất phương trình $-3x^2-2mx+m-2\le 0$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-3x^2-2mx+m-2$ với $a=-3<0$ nên parabol hướng xuống. BPT $f(x)\le 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)\le 0$ với mọi $x$, tức đồ thị không vượt trục hoành, tương đương $\Delta \le 0$.
Ta có $\Delta =b^2-4ac=(-2m{)}^2-4(-3)(m-2)=4m^2+12m-24=4(m^2+3m-6)$.
$\Delta \le 0\iff m^2+3m-6\le 0$. Phương trình $m^2+3m-6=0$ có hai nghiệm $m=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{2}$.
Vậy $\frac{-3-\sqrt{33}}{2}\le m\le \frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.
Kiểm tra: với $m=0$ (thuộc khoảng), $f(x)=-3x^2-2\le 0$ luôn đúng; với $m=3$ (ngoài khoảng), $f(x)=-3x^2-6x+1$ có $\Delta =48>0$ nên có giá trị dương — hợp lý.