Tìm tất cả tham số $m$ để: $f(x)=(m-1)x^2+2(m-1)x+m-3$ không dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Yêu cầu $f(x)=(m-1)x^2+2(m-1)x+m-3\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

TH1: $m=1$ thì $f(x)=-2\le 0$ với mọi $x$: thỏa mãn.

TH2: $m\ne 1$. Để tam thức không dương với mọi $x$ cần:
- $a=m-1<0\iff m<1$;
- $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-1{)}^2-4(m-1)(m-3)=4(m-1)[(m-1)-(m-3)]=8(m-1)\le 0\iff m\le 1$.

Kết hợp được $m<1$.

Gộp hai trường hợp: $m\le 1$. Kiểm tra: với $m=1$, $f=-2<0$; với $m<1$, parabol hướng xuống và $\Delta =8(m-1)<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x$. Vậy $m\in (-\infty ;1]$.