Tìm $m$ để bất phương trình $x^2+2mx+m-2<0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2+2mx+m-2$, parabol hướng lên nên $f(x)<0$ với mọi $x\in (1;2)$ khi và chỉ khi giá trị lớn nhất trên $[1;2]$ (tại hai đầu) không dương: $f(1)\le 0$ và $f(2)\le 0$. Ta có $f(1)=1+2m+m-2=3m-1\le 0\Rightarrow m\le \frac{1}{3}$; $f(2)=4+4m+m-2=5m+2\le 0\Rightarrow m\le -\frac{2}{5}$. Kết hợp: $m\le -\frac{2}{5}$. Kiểm tra: với $m=-1$, $f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)<0$ trên $(1;2)$, thỏa mãn.