Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số: a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$; b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15. a) Với $x\ne 1$: chia đa thức $-2x^2+3x=(1-x)(2x-1)+1$ (kiểm tra: $(1-x)(2x-1)=-2x^2+3x-1$), nên $y=2x-1+\frac{1}{1-x}$. Suy ra $y^{\prime }=2+\frac{1}{(1-x{)}^2}$ (vì ${\left[(1-x{)}^{-1}\right]}^{\prime }=(1-x{)}^{-2}$ do đạo hàm $(1-x{)}^{\prime }=-1$). Tiếp tục: $y^{\prime \prime }={\left[(1-x{)}^{-2}\right]}^{\prime }=-2(1-x{)}^{-3}\cdot (-1)=\frac{2}{(1-x{)}^3}$. Kiểm tra bằng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{(-4x+3)(1-x)+(-2x^2+3x)}{(1-x{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(1-x{)}^2}$; rồi $y^{\prime \prime }=\frac{(4x-4)(1-x)+2(2x^2-4x+3)}{(1-x{)}^3}=\frac{(-4x^2+8x-4)+(4x^2-8x+6)}{(1-x{)}^3}=\frac{2}{(1-x{)}^3}$. Hai cách cho cùng kết quả; tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=3$, $y^{\prime \prime }(0)=2$, nhất quán. Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$. (Lưu ý: nhận xét 'errors' trong dữ liệu khẳng định $y^{\prime \prime }=\frac{4}{(1-x{)}^3}$ là sai — phép tính độc lập ở trên xác nhận $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$.) b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, với $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$ với mọi $x$. $y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}$. Khi đó $y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1)\cdot \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}}{x^2+2x+3}=\frac{(x^2+2x+3)-(x+1{)}^2}{(x^2+2x+3{)}^{3/2}}=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$.