Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là tâm hình vuông $ABCD$, $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$. a) Theo quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → đúng. b) $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\ne 2\overrightarrow{GI}$ → sai. c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, và vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ → đúng. d) $G=\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, $\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, $|BG|=\sqrt{3}\cdot \frac{a}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vectơ từ trọng tâm tới ba đỉnh tam giác $A{B}^{\prime }C$ bằng $\vec{0}$, không bằng $2\overrightarrow{GI}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ do $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, $|BG|=\frac{\sqrt{3}}{3}a$.