Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;-1;2)$ và mặt phẳng $(P):x-y+z-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $x-y+z-1=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;1)$. b) Sai: đường thẳng qua $A(4;-1;2)$ vuông góc $(P)$ có VTCP $(1;-1;1)$ nên là $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$; phương trình đề cho đi qua $(-4;1;-2)$, không phải $A$. c) Sai: $(Oxy)$ có pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$, $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$. d) Đúng: $R=OA=\sqrt{4^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{21}$, nên $(x-4{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=21$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là hệ số của $x,y,z$: $(1;-1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc $(P)$ qua $A(4;-1;2)$: $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$; phương trình đề cho đi qua $(-4;1;-2)$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=OA=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}$, phương trình mặt cầu đúng.