Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z=0$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ .

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-3;2)$ và đi qua điểm $A(2;1;0)$. Mặt phẳng $(P)$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;-1;1)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ có pháp tuyến $\vec{n}=\vec{u}\times {\vec{n}}_P=((-3)(1)-2(-1);2\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot (-1)-(-3)\cdot 2)=(-1;3;5)$. Kiểm tra: $\vec{n}\cdot \vec{u}=-1-9+10=0$, $\vec{n}\cdot {\vec{n}}_P=-2-3+5=0$. Với $A(2;1;0)$: $-(x-2)+3(y-1)+5z=0\iff -x+3y+5z-1=0$, hay $x-3y-5z+1=0$. Thử điểm thuộc $d$, ví dụ $(2+t,1-3t,2t)$: $-(2+t)+3(1-3t)+5(2t)-1=0$ đúng với mọi $t$. Vậy $(\alpha ):x-3y-5z+1=0$.