Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(1;1;-6)$, $B(0;0;-2)$, $C(-5;1;2)$ và $D^{\prime }(2;1;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;0;8)$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-5;1;4)$.
a) $[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=\left((-1)(8)-4\cdot 0;4(-6)-(-1)(8);(-1)(0)-(-1)(-6)\right)=(-8;-16;-6)\ne (-8;16;6)$ → sai.
b) $AB=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$ → sai.
c) $S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]\right|=\frac{1}{2}\sqrt{64+256+36}=\frac{\sqrt{356}}{2}=\sqrt{89}\ne \sqrt{90}$ → sai.
d) Vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(1;0;5)-(-1;-1;4)-(-5;1;4)=(7;0;-3)$. Thể tích khối hộp $V=\left|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }})\right|=\left|(-1)(-3)+1(15-28)+4(-7)\right|=|-38|=38$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng đúng là $(-8;-16;-6)$, không phải $(-8;16;6)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+4^2}=3\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{356}=\sqrt{89}\ne \sqrt{90}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(7;0;-3)$, thể tích $V=|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }})|=38$.