Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;0;1)$ và hai điểm $A(-3;8;4)$, $B(5;5;6)$. Hai điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\vec{a}$ và $MN=5\sqrt{5}$.

a) Từ $\overrightarrow{MN}=(10;0;5)$ suy ra $E(7;8;9)$, không phải $E(6;8;9)$. Vậy a) sai.

b) Giải hệ $\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ được $I\left(\frac{9}{4};\frac{31}{4};\frac{13}{2}\right)$. Vậy b) đúng.

c) Giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{OK}+2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}\right|=4\left|\overrightarrow{KI}\right|=4.\frac{31}{4}=31$, không phải $\frac{31}{4}$. Vậy c) sai.

d) Giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|=EB=\sqrt{22}$. Vậy d) đúng.
a) Ta có: $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{a}=(2;0;1)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k\vec{a},(k>0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(2k;0;k)(k>0)\Rightarrow M{N}^2=5k^2={\left(5\sqrt{5}\right)}^2=125\iff k=5\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(10;0;5)$. Gọi $E$ thỏa $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MN}=(10;0;5)\Rightarrow E(7;8;9)$. Vậy a) sai.
b) Chọn $I(a;b;c)$ thỏa $\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ (1). $\overrightarrow{OI}=(a;b;c)$; $\overrightarrow{IA}=(-3-a;8-b;4-c)$; $\overrightarrow{IB}=(5-a;5-b;6-c)$. Từ $(1)\Rightarrow \{\begin{array}{l}-4a+9=0\\ -4b+31=0\\ -4c+26=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{9}{4}\\ b=\frac{31}{4}\\ c=\frac{13}{2}\end{array}$. Do đó $I\left(\frac{9}{4};\frac{31}{4};\frac{13}{2}\right)$. Vậy b) đúng.
c) Chọn $I(a;b;c)$ thỏa $\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, khi đó $I\left(\frac{9}{4};\frac{31}{4};\frac{13}{2}\right)$. Ta có: $\left|\overrightarrow{OK}+2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}\right|=\left|\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{KI}\right|=4\left|\overrightarrow{KI}\right|$. $\Rightarrow \left|\overrightarrow{OK}+2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}\right|$ nhỏ nhất $\iff 4\left|\overrightarrow{KI}\right|$ nhỏ nhất $\iff KI\perp (Oxz)$. Lúc đó $K$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxz)$. Giá trị nhỏ nhất của $4\left|\overrightarrow{KI}\right|=4.\frac{31}{4}=31$. Khi đó $K\left(\frac{9}{4};0;\frac{13}{2}\right)$. Vậy c) sai.
d) Xét điểm $E(7;8;9)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MN}$. Ta thấy các điểm $E$, $B$ đều nằm cùng phía so với mặt phẳng $(Oxy)$ (vì $z_E$, $z_B$ cùng dương). Mặt khác do $z_E\ne z_B$ nên đường thẳng $EB$ luôn cắt mặt phẳng $(Oxy)$. Từ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MN}$ suy ra $AM=EN$, do đó $\left|AM-BN\right|=\left|EN-BN\right|\le EB$. Dấu "=" xảy ra khi $N$ là giao điểm của đường thẳng $EB$ với mặt phẳng $(Oxy)$. Do đó, giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|=EB=\sqrt{22}$. Vậy d) đúng.