Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng $(\Delta )$ qua $M(2;3;1)$ và song song với hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-7=0$ và $(Q):x+3y-2z+3=0$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$ song song với hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-7=0$ và $(Q):x+3y-2z+3=0$ nên vectơ chỉ phương của $(\Delta )$ vuông góc với cả hai pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;2)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(1;3;-2)$.

Ta có:
$$\vec{u}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 2\\ 1& 3& -2\end{array}\right|=\vec{i}\left((-1)(-2)-2\cdot 3\right)-\vec{j}\left(2\cdot (-2)-2\cdot 1\right)+\vec{k}\left(2\cdot 3-(-1)\cdot 1\right)$$
$$=(-4-6)\vec{i}-(-4-2)\vec{j}+(6+1)\vec{k}=(-4;6;7).$$

Vậy $(\Delta )$ đi qua $M(2;3;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-4;6;7)$, phương trình tham số là:
$$\{\begin{array}{l}x=2-4t\\ y=3+6t\\ z=1+7t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$

Kiểm tra: $\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_P}=-8-6+14=0$, $\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_Q}=-4+18-14=0$, thỏa mãn.