Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;-3),\vec{b}=(1;m+2)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để vectơ $\vec{a}$ tạo với vectơ $\vec{b}$ một góc $45^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-3)(m+2)=-3m-4$, $|\vec{a}|=\sqrt{13}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+(m+2{)}^2}$. Góc $45^0$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$. Bình phương: $\frac{(-3m-4{)}^2}{13\left(1+(m+2{)}^2\right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(9m^2+24m+16)=13(m^2+4m+5)\Rightarrow 5m^2-4m-33=0\Rightarrow m=3$ hoặc $m=-\frac{11}{5}$. Kiểm tra dấu tích vô hướng: với $m=3$ thì $\vec{a}\cdot \vec{b}=-13<0$ (góc $135^0$, loại); với $m=-\frac{11}{5}$ thì $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{13}{5}>0$, thỏa mãn. Vậy $m=-\frac{11}{5}=-2,2$.