Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có phương trình cạnh $AB:x+2y-2=0$, phương trình cạnh $AC:2x+y+1=0$, điểm $M(1;2)$ thuộc đoạn $BC$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}$ có giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Giải: A là giao của AB và AC: giải $x+2y-2=0$, $2x+y+1=0$ được $A\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)$. Vì tam giác cân tại $A$ nên phân giác trong tại $A$ có vectơ chỉ phương là tổng hai vectơ chỉ phương đơn vị của AB và AC: $\frac{(1;2)}{\sqrt{5}}+\frac{(2;1)}{\sqrt{5}}$ cho hướng $(1;1)$, nên phân giác trong là $x-y+3=0$ (qua $A$: $-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}+3=0$). Suy ra $BC\perp$ phân giác nên $BC$ có hệ số góc $-1$, đi qua $M(1;2)$: $BC:x+y=3$. Tìm $B$ = giao AB với BC: $x+2y=2$, $x+y=3$ $\Rightarrow B(4;-1)$. Tìm $C$ = giao AC với BC: $2x+y=-1$, $x+y=3$ $\Rightarrow C(-4;7)$. Kiểm tra cân: $\overrightarrow{AB}=\left(\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{8}{3};\frac{16}{3}\right)$, cùng độ dài $\frac{8\sqrt{5}}{3}$; $M(1;2)$ thuộc đoạn BC vì $1+2=3$ và $M$ là tổ hợp lồi của $B,C$. Gọi $I$ trung điểm $BC$: $I(0;3)$, $\overrightarrow{IB}=(4;-4)$ nên $I{B}^2=32$. Ta có $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IB})\cdot (\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC})={\overrightarrow{DI}}^2-{\overrightarrow{IB}}^2=x_D^2+(y_D-3{)}^2-32\ge -32$, dấu bằng khi $D=I$. Vậy $D(0;3)$, giá trị nhỏ nhất $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=-32$.